http://akademia-matematyki.edu.pl/ Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości H = 16 . Cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny pDany jest trójkąt równoramienny \( ABC \), w którym \( |AC|=|BC| \) oraz \( A=(2,1) \) i \( C=(1,9) \). Podstawa \( AB \) tego trójkąta jest zawarta w prostej \( y=\frac{1}{2}x \). Oblicz współrzędne wierzchołka \( B \). Policzymy długość boku \( AC \) korzystając ze wzoru na długość odcinka. Wiemy, że ma on końce w punktach \( A=(2,1) \) i \( C=(1,9) \), zatem jego długość to \[ |AC|=\sqrt{(\class{color1}{x_A}-\class{color1}{x_C})^2+(\class{color2}{y_A}-\class{color2}{y_C})^2}=\sqrt{(2-1)^2+(1-9)^2}=\\ =\sqrt{1^2+(-8)^2}\class{mathHint PotegiUjemnaPodstawa}=\sqrt{1+64}=\sqrt{65} \] Mamy do czynienia z trójkątem równoramiennym, w którym boki \( AC \) i \( BC \) mają jednakową długość ( \( |AC|=|BC| \) ). Niech punkt \( B \) ma współrzędne \( B=(\class{color1}{x_B},\class{color2}{y_B}) \). Wtedy, zgodnie ze wzorem na długość odcinka długość boku \( BC \) będzie równa \[ |BC|=\sqrt{(\class{color1}{x_B}-\class{color1}{x_C})^2+(\class{color2}{y_B}-\class{color2}{y_C})^2}=\sqrt{(\class{color1}{x_B}-1)^2+(\class{color2}{y_B}-9)^2} \] Wiemy, że ten bok ma taką samą długość jak bok \( AC \). Jak wyliczyliśmy wcześniej \( |AC|=\sqrt{65} \), zatem \[ |BC|=\sqrt{65} \\ \begin{matrix} \sqrt{(\class{color1}{x_B}-1)^2+(\class{color2}{y_B}-9)^2}=\sqrt{65} & /\,^2 \end{matrix}\\ (\class{color1}{x_B}-1)^2+(\class{color2}{y_B}-9)^2=65 \] Wiemy, że wierzchołek \( B \) leży na prostej \( y=\frac{1}{2}x \), zatem jego współrzędne spełniają równanie tej prostej, mamy więc \[ \class{color2}{y_B}=\frac{1}{2}\class{color1}{x_B} \] Mamy więc \[ (\class{color1}{x_B}-1)^2+(\class{color2}{y_B}-9)^2=65 \\ (\class{color1}{x_B}-1)^2+\left(\frac{1}{2}\class{color1}{x_B}-9\right)^2=65 \] Korzystamy dwukrotnie ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy \[ \class{color1}{x_B}^2-2\cdot \class{color1}{x_B} \cdot 1+1^2+\left(\frac{1}{2}\class{color1}{x_B}-9\right)^2=65 \\ \class{color1}{x_B}^2-2\cdot \class{color1}{x_B} \cdot 1+1^2+\left(\frac{1}{2}\class{color1}{x_B}\right)^2-2\cdot \frac{1}{2}\class{color1}{x_B} \cdot 9 + 9^2=65 \\ \class{color1}{x_B}^2-2\class{color1}{x_B}+1+\left(\frac{1}{2}\right)^2\class{color1}{x_B}^2-9\class{color1}{x_B} + 81=65 \\ \class{color2}{x_B^2}\class{color3}{-2x_B}+1+\class{color2}{\frac{1}{4}x_B^2}\class{color3}{-9x_B} + 81=65 \\ \class{color2}{\frac{5}{4}x_B^2}\class{color3}{-11x_B}+82=65 \\ \] Sprowadzimy to równanie do równania kwadratowego postaci \( f(x)=0 \) \[ \begin{matrix} \frac{5}{4}\class{color1}{x_B}^2-11\class{color1}{x_B}+82=65 & /-65 \end{matrix}\\ \frac{5}{4}\class{color1}{x_B}^2-11\class{color1}{x_B}+82-65=0\\ \frac{5}{4}\class{color1}{x_B}^2-11\class{color1}{x_B}+17=0 \] Policzymy miejsca zerowe funkcji kwadratowej \( f(x)=\frac{5}{4}\class{color1}{x_B}^2-11\class{color1}{x_B}+17 \). Funkcja jest zapisana w postaci ogólnej, odczytamy współczynniki. \[ f(x)=\class{color1}{a}x^2+\class{color2}{b}x+\class{color3}{c}\\ f(x)=\frac{5}{4}\class{color1}{x_B}^2-11\class{color1}{x_B}+17 \\[1em] \class{color1}{a}=\frac{5}{4}\\ \class{color2}{b}=-11\\ \class{color3}{c}=17 \] Policzmy deltę \[ \bigtriangleup =\class{color2}{b}^2-4\class{color1}{a}\class{color3}{c}=(-11)^2-4\cdot\frac{5}{4}\cdot 17\class{mathHint hintPotegiUjemnaPodstawa}=121-5\cdot17= \\=121-85=36 \] Delta jest większa od zera, mamy zatem dwa miejsca zerowe. Wyliczmy je \[ \sqrt{\bigtriangleup}=\sqrt{36}=6\\ \class{color1}{x_{B1}}=\frac{-\class{color2}{b}-\sqrt{\bigtriangleup }}{2\class{color1}{a}}=\frac{-(-11)-6}{2\frac{5}{4}}=\frac{11-6}{\frac{5}{2}}=\frac{5}{\frac{5}{2}}\class{mathHint hintDzielToMnozPrzezOdwrot}= 5\cdot\frac{2}{5}=2\\ \class{color1}{x_{B2}}=\frac{-\class{color2}{b}+\sqrt{\bigtriangleup }}{2\class{color1}{a}}=\frac{-(-11)+6}{2\frac{5}{4}}=\frac{11+6}{\frac{5}{2}}=\frac{17}{\frac{5}{2}}\class{mathHint hintDzielToMnozPrzezOdwrot}=17\cdot\frac{2}{5}=\frac{34}{5} \] Miejsce zerowe \( \class{color1}{x_{B1}}=2 \) możemy odrzucić, dlatego, że jest to współrzędna \( x \) punktu \( A \), który też leży na prostej \( y=\frac{1}{2}x \), a chcemy, by punkt \( B \) miał inne współrzędne niż punkt \( A \). Zatem \( \class{color1}{x_B}=\frac{34}{2} \), policzmy współrzędną \( \class{color2}{y_B} \) korzystając z wcześniej zapisanej zależności \[ \class{color2}{y_B}=\frac{1}{2}\class{color1}{x_B}\\ \class{color2}{y_B}=\frac{1}{2}\frac{34}{2}=\frac{34}{10}=\frac{17}{5} \] Odpowiedź: Punkt \( B \) ma współrzędne \( \left(\frac{34}{5},\frac{17}{5}\right) \). DrukujZadanie 32 (0-2) Dany jest trapez o podstawach długości a oraz b i wysokości h. Każdą z podstaw tego trapezu wydłużono o 25%, a wysokość skrócono tak, że powstał nowy trapez o takim samym polu. Oblicz, o ile procent skrócono wysokość h trapezu. Źródło CKE - Arkusz egzaminacyjny 2020/2021 - Matura czerwiec (05.06.2021) poziom
Wierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji określonej wzorem $f(x)=x^2-4x+4$ jest punkt o współrzędnych: A. $(0,2)$ B. $(0,-2)$ C. $(-2,0)$ D. $(2,0)$ ROZWIĄZANIE: Zadanie bardzo podobne do poprzedniego. Znów będziemy korzystać ze wzoru na współrzędne wierzchołka funkcji kwadratowej:\[x_W=\frac{-b}{2a}.\]Oczywiście wypiszmy współczynniki trójmianu\[f(x)=x^2-4x+4.\]Będą one wynosić:\[a=1,\ \ \ b=-4,\ \ \ c=4.\]Wstawiamy do wzoru:\[x_W=\frac{-(-4)}{2\cdot 1}=\frac{4}{2}=2\]Tylko jedna z naszych odpowiedzi ma współrzędną iksową równą 2 - oczywiście chodzi o odpowiedź $D$. ODPOWIEDŹ: D. Jeśli kilka podpowiedzi miałoby współrzędną iksową równą 2 to musielibyśmy policzyć współrzędną igrekową. Można zgodnie ze wzorem z tablic\[y_W=q=\frac{-\Delta}{4a}\] lub po prostu \[y_W=f(x_W)\]Łatwiejszym i szybszym sposobem jest ten drugi - chodzi tylko o policzenie wartości funkcji w znanym nam już punkcie $x_W=2$.\[y_W=f(2)=2^2-4\cdot 2+4=4-8+4=0\]Widzimy, że faktycznie się zgadza. Nasz wierzchołek to: \[W=(2,0)\] Zadanie domowe: Wierzchołkiem paraboli będącej wykresem funkcji określonej wzorem $f(x)=x^2+2x+11$ jest punkt o współrzędnych: A. $(1,10)$ B. $(-1,10)$ C. $(-10,1)$ D. $(10,-1)$
Krok 1. Obliczenie wartości logarytmu. Najpierw obliczmy wartość log8 16 log 8 16. Z definicji logarytmu wiemy, że: log8 16 = x 8x = 16 log 8 16 = x 8 x = 16. Widzimy wyraźnie, że wynik tego logarytmu nie jest liczbą całkowitą, bo nie istnieje taka liczba całkowita, do której można podnieść liczbę 8 8, by otrzymać 16 16 Punkt $O$ jest środkiem okręgu. Kąt wpisany $BAD$ ma miarę: A. $150^{\circ}$ B. $120^{\circ}$ C. $115^{\circ}$ D. $85^{\circ}$ ROZWIĄZANIE: Zaznaczmy na rysunku kąt, którego miary poszukujemy. Pamiętamy także, że z kątem wpisanym (na zielono) jest zawsze związany kąt środkowy (na pomarańczowo) oparty na tym samym łuku. Zależność między nimi jest nam na pewno znana. Kąt wpisany jest dwukrotnie mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku. Policzmy więc ile wynosi miara kąta środkowego $BOD$, zaznaczonego na pomarańczowo. Oczywiście koło "tworzy" kąt pełny - o mierze $360^{\circ}$. Dlatego:\[60^{\circ}+130^{\circ}+|\sphericalangle BOD|=360^{\circ}.\]Oczywiście wyliczmy miarę $BOD$: \[190^{\circ}+|\sphericalangle BOD|=360^{\circ}\]\[|\sphericalangle BOD|=360^{\circ}-190^{\circ}\]\[|\sphericalangle BOD|=170^{\circ}.\] Mamy więc miarę kąta środkowego opartego na łuku $BD$. Miara kąta wpisanego opartego na tym łuku jest dwa razy mniejsza. \[|\sphericalangle BAD|=170^{\circ}:2=85^{\circ}.\] ODPOWIEDŹ: D. Zadanie domowe: Punkt $O$ jest środkiem okręgu. Kąt wpisany $BAD$ ma miarę: A. $97,5^{\circ}$ B. $82,5^{\circ}$ C. $165^{\circ}$ D. $90^{\circ}$ PS: Pamiętajcie, że do całego arkusza z matury podstawowej z sierpnia 2012, możecie wrócić w bardzo łatwy sposób - wystarczy zarejestrować się na portalu educadvisor - można to zrobić np. przez facebooka, czyli szybko, łatwo i przyjemnie. Znajdziecie tam oryginalny arkusz i uporządkowane zadania:-) Zapraszam - oto LINK :-)
Zasady oceniania rozwiązań zadań Strona 5 z 35 Zasady oceniania 2 pkt – za prawidłowe podanie dwóch przyczyn różnic w składzie nieglikozylowanych
Opublikowane w przez Matura czerwiec 2012 zadanie 32 Punkty A=(2,11), B=(8,23), C=(6,14) są wierzchołkami trójkąta. Wysokość trójkąta poprowadzona z wierzchołka C przecina prostą AB w punkcie D. Oblicz współrzędne punktu A=(2,11), B=(8,23), C=(6,14) są wierzchołkami trójkąta. Wysokość trójkąta poprowadzona z wierzchołka C przecina prostą AB w punkcie D. Oblicz współrzędne punktu dostęp do Akademii! Dodaj komentarz Musisz się zalogować, aby móc dodać wpisuPoprzedni wpis Matura czerwiec 2012 zadanie 33 Oblicz, ile jest liczb naturalnych pięciocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero, jest dokładnie jedna cyfra 7 i dokładnie jedna cyfra wpis Matura czerwiec 2012 zadanie 31 Dany jest romb, którego kąt ostry ma miarę 45°, a jego pole jest równe 502–√. Oblicz wysokość tego rombu.
MATURA 2012: Matematyka(pytania, odpowiedzi, arkusze) Matematyka, poziom podstawowy - sugerowane odpowiedzi C (rysunek -12, -2) 180 zł Ta liczba jest równa 1 Liczba log(4)8+log(4)2 jest równa: 2 Zad. 5 Wielomian W(x) +P(x) jest równy: 5x2+12x−3 Zad. 6 Rozwiązanie równania: 7 Zad. 7 Do zbioru nierówności należy liczba 1 Zad. 8 Wykresem funkcji kwadratowej f (x) = −3x2 +3 jest parabola o wierzchołku w punkcie (0,3) Zad. 9 Prosta o równaniu y= −2x+(3m+3) przecina w układzie współrzędnych oś Oy w punkcie (0, 2). Wtedy m=-1/3 Zad. 10 Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji y= f(x). Dokładnie trzy rozwiązania ma równanie f(x)=2 Zad. 11 W ciągu arytmetycznym (an) dane są: a3=13 i a5=39. Wtedy wyraz a1 jest równy -13 Zad. 12 W ciągu geometrycznym (an) dane są: a1=3 i a4=24 . Iloraz tego ciągu jest równy 2. Zad. 13 Liczba przekątnych siedmiokąta foremnego jest równa 14 Zad. 14 Kot alfa jest ostry i sin alfa = 3/4. wartość wyrażenia 2- cos 2 alfa jest równa 25/16 Zad. 15 Okrąg opisany na kwadracie ma promień 4. Długość boku tego kwadratu jest równa 4 pierwiastek 2 Podstawa trójkąta równoramiennego ma długość 6, a ramię ma długość 5. Wysokość opuszczona na podstawę ma długość 4 Zad. 17 Odcinki AB i DE są równoległe. Długości odcinków CD, DE i AB są odpowiednio równe 1, 3 i 9. Długość odcinka AD jest równa 2 Zad. 18 Punkty A, B, C leżące na okręgu o środku S są wierzchołkami trójkąta równobocznego. Miara zaznaczonego na rysunku kąta środkowego ASB jest równa 120 stopni Zad. 19 Latawiec ma wymiary podane na rysunku. Powierzchnia zacieniowanego trójkąta jest równa 1600 cm2 Zad. 20 Współczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej o równaniu y = −3x+5 jest równy: -3 Zad. 21 Wskaż równanie okręgu o promieniu 6. x2+y2=36 Zad. 22 Punkty A =(−5, 2) i B =(3, −2) są wierzchołkami trójkąta równobocznego ABC. Obwód tego trójkąta jest równy 12 pierwiastek 5 Zad. 23 Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu o wymiarach 5x3x4 jest równe: 94 Zad. 24 Ostrosłup ma 18 wierzchołków> Liczba wszystkich krawędzi tego ostrosłupa jest równa 34 Zad. 25 Średnia arytmetyczna dziesięciu liczb x, 3, 1, 4, 1,5, 1, 4, 1, 5 jest równa 3. Wtedy x=5 Zad. 26 Rozwiąż nierówność x2 −x−2≤0. x Zad. 27 Rozwiąż równanie x3−7x2−4x+28=0. x=7 lub x=-2 lub x=2 Zad. 28 Trójkąty prostokątne równoramienne ABC i CDE są położone tak, jak na poniższym rysunku (w obu trójkątach kąt przy wierzchołku C jest prosty). Wykaż, że AD = BE. Można udowodnić, że trójkąt ACD jest przystający do trójkąta BEC. Długości boków AC i CB są równe, ponieważ trójkąt ABC jest trójkątem równoramiennym; Długości boków CD i CE są równe, ponieważ trójkąt DEC jest trójkątem równoramiennym; Miary kątów ACD i BCE są jednakowe i wynoszą (90 stopni - miarą kąta DCB), z treści zadania. Z powyższego wynika, że trójkąty ACD i BCE są przystające, a więc długość AD jest równa długości BE. Zad. 29 Kąt α jest ostry i tgα=5/12. Oblicz cosα cosα =12/13 Daną nierówność można doprowadzić do postaci 2a2 +2 > a2 =2a +1, zatem (a-1)2 >0 Zad. 31 W trapezie prostokątnym krótsza przekątna dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt równoboczny. Dłuższa podstawa trapezu jest równa 6. Oblicz obwód tego trapezu. 15 + 3 pierwiastek 3 Zad. 32 Podstawą ostrosłupa ABCD jest trójkąt ABC. Krawędź AD jest wysokością ostrosłupa. Oblicz objętość ostrosłupa, jeśli wiadomo, żę AD =12, BC=6, Bd=CD=13 V=48 Zad. 33 Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że w pierwszym rzucie otrzymamy parzystą liczbę oczek i iloczyn liczb oczek w obu rzutach będzie podzielny przez 12. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego. P(A)=1/6 Zad. 34 W dwóch hotelach wybudowano prostokątne baseny. Basen w pierwszym hotelu ma powierzchnię 240 m2. Basen w drugim hotelu ma powierzchnię 350 m2 oraz jest o 5 m dłuższy i 2 m szerszy niż w pierwszym hotelu. Oblicz, jakie wymiary mogą mieć baseny w obu hotelach. Podaj wszystkie możliwe odpowiedzi. W pierwszym hotelu basen ma wymiary 30x8 i w drugim 35x10. Lub w pierwszym hotelu basen ma wymiary 20x12, a w drugim 25x14 Matura 2010 nie taka straszna – zobacz opinie uczniów o maturze z matematyki na poziomie podstawowym Od godz. 14, przez trzy godziny, chętni zmagać się będą z testami o poziomie rozszerzonym. Arkusz egzaminacyjny składać się będzie z trzech grup zadań: 1. Od 20 do 30 zadań zamkniętych, do których podane zostaną cztery odpowiedzi z tylko jedną poprawną. 2. 2. Od 5 do 10 zadań otwartych - maturzysta będzie musiał udzielić krótkiej odpowiedzi 3. Od 3 do 5 zadań otwartych, gdzie uczeń musi udzielić rozszerzonej odpowiedzi. Żeby zdać maturę z matematyki trzeba zdobyć co najmniej 30 proc. punktów możliwych do uzyskania. Każdy będzie mógł korzystać z tablic matematycznych z wzorami, które przygotowała Centralna Komisja Egzaminacyjna. Koncerty, imprezy, wydarzenia - wszystko o Lubelskich Dniach Kultury Studenckiej na
http://akademia-matematyki.edu.pl/ Zad 29 Matura czerwiec 2011 http://piotrciupak.pl/ Pełne lekcje: http://mrciupi.pl/VIDEOKURS: http://mrciupi.pl/PEWNIAKI MStrona głównaZadania maturalne z biologiiMatura Czerwiec 2012, Poziom rozszerzony (Formuła 2007) Kategoria: Ewolucjonizm i historia życia na ziemi Genetyka - pozostałe Typ: Podaj i uzasadnij/wyjaśnij W latach 90. ubiegłego wieku oznaczono sekwencję ponad 10 000 par zasad DNA pseudogenu hemoglobiny (niefunkcyjny odcinek DNA będący duplikatem genu hemoglobiny), który wcześnie pojawił się w ewolucji naczelnych. W tabeli przedstawiono różnice (w %) miedzy sekwencjami nukleotydowymi pseudogenu hemoglobiny orangutana (Pongo), goryla (Gorilla), szympansa (Pan) i człowieka (Homo). Hominidy Gorilla Pan Homo Orangutan (Pongo) 3,39 3,42 3,30 Goryl (Gorilla) 1,82 1,69 Szympans (Pan) 1,56 Ustal, który z rodzajów hominidów jest najbliżej spokrewniony z szympansem (Pan), a który z nim spokrewniony jest najdalej, i uzupełnij zdanie poniżej. Odpowiedź uzasadnij. Najbliżej spokrewniony z szympansem (Pan)) jest , a najdalej z nim spokrewniony jest . Uzasadnienie Rozwiązanie Poprawna odpowiedź: kolejność: człowiek (Homo), orangutan (Pongo) Różnice między sekwencjami nukleotydowymi szympansa (Pan) a człowieka (Homo) są najmniejsze (mają najwięcej identycznych sekwencji nukleotydów w pseudogenie hemoglobiny), natomiast między szympansem (Pan) i orangutanem (Pongo) różnice między sekwencjami nukleotydowymi pseudogenu są największe (mają najmniej identycznych sekwencji nukleotydów). 1 p. – za poprawny wybór hominida najbliżej i najdalej genetycznie spokrewnionego z szympansem oraz poprawne uzasadnienie uwzględniające porównanie hominidów 0 p. – za poprawny wybór hominidów i brak uzasadnienia lub nieprawidłowe uzasadnienie, lub odpowiedź całkowicie niepoprawnąz1Xz.
